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Croissante ou décroissante ?

CapsuleMathématique · Sec. 4 · CST2 min 09Sous-titréeAccès libre

Sans le son, la capsule défile avec ses sous-titres, sous l’image (CC pour les masquer) ; « Écouter » la reprend au début, avec la voix.

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Voici deux fonctions exponentielles : 2ˣ et (1/2)ˣ. Quand x augmente, laquelle des deux voit ses valeurs monter ? Les deux, peut-être ? Une seule monte : la première. Pour le voir, calculons quelques valeurs de chacune.

Dans une fonction exponentielle de coefficient positif, c’est la base qui décide.

Base 2 : chaque pas multiplie par 2. 1, 2, 4, 8 : les valeurs grandissent. Un demi, c’est 0,5. Avec cette base, chaque pas prend la moitié de la valeur. Nous obtenons 1, puis 0,5 ; 0,25 ; 0,125 : les valeurs diminuent.

Sur le graphique, la courbe de base 2 monte vers la droite. Celle de base 1/2 descend, en s’approchant de l’axe horizontal sans l’atteindre. Les deux passent par le point (0 ; 1), puisqu’une puissance d’exposant 0 vaut 1.

Quand a est positif, une base supérieure à 1 donne une fonction croissante. Et une base comprise entre 0 et 1 donne une fonction décroissante. Cette règle demande un coefficient positif : s’il est négatif, le sens s’inverse. Par exemple, 8 · 0,5ˣ est décroissante : coefficient positif, base entre 0 et 1.

Attention à cette idée tentante : l’exposant augmente, donc la valeur augmente. Vrai seulement pour une base supérieure à 1. Avec 0,5, chaque facteur fait diminuer.

À toi de jouer, pour vérifier que tu regardes bien la base. Deux règles au coefficient positif : croissante ou décroissante ?

Pour les parents

Placements, prêts, populations : l’exponentielle revient souvent en CST. Une hausse de 5 % par année donne une base de 1,05 ; une baisse de 20 %, une base de 0,8. Prenez un exemple de la vie courante et demandez si la quantité grandit ou diminue, et pourquoi.

La fiche · Croissance et décroissance exponentielles

6 min de lecture

L’idée en une phrase

Pour $a > 0$ , la fonction croît si la base $c$ dépasse 1 et décroît si $c$ est entre 0 et 1. Une hausse de 5 % donne $c = 1, 05$ ; une baisse de 5 %, $c = 0, 95$ .

La base décide, le taux se cache dans la base

La courbe qui passe par $A$ est celle de $f (x) = 2^{x}$ : multiplier encore et encore un nombre positif par 2 le fait grandir. Celle qui passe par $B$ est celle de $g (x) = (\frac{1}{2})^{x}$ : multiplier par $\frac{1}{2}$ fait diminuer. Une base supérieure à 1, élevée à un exposant positif, donne un nombre supérieur à 1 ; élevée à un exposant négatif, un nombre entre 0 et 1. Pour une base entre 0 et 1, c’est le contraire : $(\frac{1}{2})^{- 3} = 2^{3} = 8$ .

Augmenter de 10 %, c’est garder la valeur entière et lui ajouter un dixième : $200 + 0, 10 \cdot 200 = 1, 10 \cdot 200$ . Chaque année, la valeur est multipliée par $1, 1$ : c’est la base. Le pourcentage s’applique chaque fois à la dernière valeur : la somme gagne 20 dollars la première année, 22 la deuxième, puis $24, 20$ .

Un exemple, pas à pas

Une voiture de 20 000 dollars perd 20 % de sa valeur chaque année. Combien vaut-elle après 2 ans ?

$c = 1 - 0, 20 = 0, 8$
Perdre 20 %, c’est garder 80 % de la valeur.
$V (x) = 20000 \cdot 0, 8^{x}$
La valeur initiale, puis la base.
$V (2) = 20000 \cdot 0, 64$
La puissance d’abord : 0,8 fois 0,8.
$= 12800$
Puis le produit.

Après 2 ans, la voiture vaut 12 800 dollars. En retranchant deux fois 4 000 dollars, on aurait trouvé 12 000 dollars : ce n’est pas le même modèle.

Le piège · Prendre le taux pour la base

Après une hausse, que reste-t-il de la valeur de départ ?

À revoir

hausse de 5 % \to c = 0, 05

Juste

hausse de 5 % \to c = 1 + 0, 05 = 1, 05

Pourquoi c’est tentant : Le 5 de l’énoncé est le seul nombre qu’on voit.

Multiplier par $0, 05$ ne garderait que le vingtième de la valeur. On garde tout, et on ajoute 5 %.

Le piège · Ajouter chaque fois la même quantité

À quelle valeur le pourcentage s’applique-t-il la deuxième année ?

À revoir

1 000, plus 10 % par ann \overset{e}{ˊ} e \to 1000 + 3 \cdot 100 = 1300

Juste

1000 \cdot 1, 1^{3} = 1331

Pourquoi c’est tentant : Dix pour cent de 1 000, c’est 100 : on ajoute 100 chaque année.

Le pourcentage s’applique à la valeur atteinte : 100 la première année, 110 la deuxième, 121 la troisième.

Le piège · Inverser le sens de la variation

Une baisse laisse-t-elle plus, ou moins, que la valeur de départ ?

À revoir

baisse de 20 % \to c = 1, 2

Juste

baisse de 20 % \to c = 1 - 0, 2 = 0, 8

Pourquoi c’est tentant : On associe « 20 % » à « 1,2 » par habitude des hausses.

Multiplier un nombre positif par $1, 2$ le fait grandir. Une baisse donne une base entre 0 et 1.

À retenir

Pour $a > 0$ : $c > 1$ , fonction croissante ; $0 < c < 1$ , fonction décroissante. Pour $a < 0$ , c’est le contraire.
Hausse de 8 % : $c = 1, 08$ . Baisse de 25 % : $c = 0, 75$ . Dans l’autre sens : $c = 1, 3$ est une hausse de 30 %, $c = 0, 9$ une baisse de 10 %.
Pour $a > 0$ , les valeurs restent positives : la courbe s’approche de l’axe horizontal sans l’atteindre, et l’image de la fonction, définie pour tous les réels, est $] 0; + \infty [$ .

Vérifie-toi

Une colonie de 500 bactéries augmente de 4 % par heure. Écris la règle qui donne le nombre de bactéries après $x$ heures. Que deviendrait la base si la colonie diminuait de 4 % par heure ?

Voir la réponse

Hausse de 4 % : $c = 1 + 0, 04 = 1, 04$ . La règle est $f (x) = 500 \cdot 1, 0 4^{x}$ .

Pour une baisse de 4 % : $c = 1 - 0, 04 = 0, 96$ .

Toutes les notions, avec leurs exercices.

Dans Silex, cette capsule arrive au moment où l’erreur se produit, avec la fiche et les exercices de la notion.

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