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La forme canonique : lire le sommet

CapsuleMathématique · Sec. 4 · SN1 min 38Sous-titréeAccès libre

Sans le son, la capsule défile avec ses sous-titres, sous l’image (CC pour les masquer) ; « Écouter » la reprend au début, avec la voix.

Lire la transcription

Voici une règle sous une forme nouvelle : f(x) = (x + 3)² − 2. Où est le sommet de sa parabole : en (3 ; −2), ou en (−3 ; −2) ? Il est en (−3 ; −2). Le signe plus de la parenthèse cache une abscisse négative.

C’est la forme canonique : elle montre le sommet, si on lit bien ses signes.

Le carré est le plus petit quand la parenthèse vaut 0 : pour x = −3. La fonction vaut alors 0 − 2 : le sommet est le point (−3 ; −2). C’est la parabole de y = x², glissée de 3 vers la gauche et de 2 vers le bas. Son axe de symétrie est la droite verticale qui passe par le sommet : x = −3.

La forme canonique : f(x) = a(x − h)² + k. Le sommet est le point (h ; k). Comme h est soustrait, x + 3 se lit x − (−3) : h vaut −3.

Autre piège : échanger les coordonnées. L’abscisse s’écrit en premier. L’abscisse vient de la parenthèse ; l’ordonnée est le nombre ajouté à la fin.

À toi de jouer : donne le sommet de chacune de ces deux paraboles. Pour chacune, cherche d’abord la valeur de x qui annule la parenthèse.

Pour les parents

Dans f(x) = (x + 3)² − 2, le sommet est en (−3 ; −2), et non en (3 ; −2) : le signe de la parenthèse s’inverse. C’est une erreur de lecture plus que de calcul. Demandez à votre enfant pourquoi le « + 3 » donne −3.

La fiche · La forme canonique et ses paramètres

6 min de lecture

L’idée en une phrase

Cette notion est au programme de la séquence Sciences naturelles. Dans $a (x - h)^{2} + k$ , le sommet est $(h; k)$ : $h$ déplace la parabole de côté, $k$ en hauteur.

La même parabole, déplacée

La parenthèse $(x - 3)$ vaut 0 quand $x = 3$ : c’est là que le carré est le plus petit, et $f (3) = 0 + 2 = 2$ . Le sommet est $(3; 2)$ : la parabole de $y = x^{2}$ , glissée de 3 vers la droite et de 2 vers le haut. Cette écriture, $f (x) = a (x - h)^{2} + k$ avec $a \neq = 0$ , est la forme canonique. L’axe de symétrie est la droite $x = h$ ; l’extremum est $k$ , atteint pour $x = h$ .

Un exemple, pas à pas

Décris la parabole de $f (x) = - 2 (x + 1)^{2} + 8$ : sommet, axe de symétrie, ouverture, extremum, image.

$x + 1 = x - (- 1)$
J’écris la parenthèse comme une soustraction : h = −1.
$sommet : (- 1; 8)$
k = 8.
$axe : x = - 1$
$a = - 2 : maximum 8$
a négatif : ouverte vers le bas.
$ima f =] - \infty; 8]$

Contrôle : $f (- 1) = - 2 \cdot 0^{2} + 8 = 8$ , et $f (0) = - 2 \cdot 1 + 8 = 6$ , plus bas que le sommet.

Le piège · Recopier le signe de la parenthèse

Pour quelle valeur de x la parenthèse vaut-elle zéro ?

À revoir

f (x) = 2 (x + 3)^{2} + 1 : sommet (3; 1)

Juste

f (x) = 2 (x + 3)^{2} + 1 : sommet (- 3; 1)

Pourquoi c’est tentant : On voit « + 3 » et on écrit 3.

$x + 3 = x - (- 3)$ : la parenthèse s’annule pour $x = - 3$ . Donc $h = - 3$ .

Le piège · Écrire le sommet à l’envers

Lequel des deux nombres est une valeur de x ?

À revoir

f (x) = 2 (x - 4)^{2} + 7 : sommet (7; 4)

Juste

f (x) = 2 (x - 4)^{2} + 7 : sommet (4; 7)

Pourquoi c’est tentant : On lit la règle en partant de la fin.

L’abscisse vient de la parenthèse, $h = 4$ ; l’ordonnée est le nombre ajouté, $k = 7$ .

Le piège · Placer l’axe à la hauteur k

L’axe de symétrie est-il vertical, ou horizontal ?

À revoir

f (x) = 2 (x - 4)^{2} + 7 : axe x = 7

Juste

f (x) = 2 (x - 4)^{2} + 7 : axe x = 4

Pourquoi c’est tentant : Le 7 est le nombre le plus visible.

L’axe est la droite verticale qui passe par le sommet $(4; 7)$ : $x = 4$ . Le nombre 7 est le minimum.

À retenir

Forme canonique : $f (x) = a (x - h)^{2} + k$ , $a \neq = 0$ . Sommet $(h; k)$ ; axe de symétrie $x = h$ .
Le sommet est un couple, l’axe une équation, l’extremum une valeur : $k$ , minimum si $a > 0$ , maximum si $a < 0$ .
Sur $R$ : image $[k; + \infty [$ si $a > 0$ , $] - \infty; k]$ si $a < 0$ . La variation change de sens en $x = h$ .

Vérifie-toi

Pour $f (x) = 3 (x - 5)^{2} - 4$ , donne le sommet, l’axe de symétrie et l’extremum.

Voir la réponse

Sommet : $(5; - 4)$ . Axe de symétrie : $x = 5$ .

$a = 3$ est positif : la parabole s’ouvre vers le haut, et $- 4$ est un minimum, atteint pour $x = 5$ .

Toutes les notions, avec leurs exercices.

Dans Silex, cette capsule arrive au moment où l’erreur se produit, avec la fiche et les exercices de la notion.

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