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Les dénominateurs ne s’additionnent pas

CapsuleMathématique · Sec. 11 min 53Sous-titréeAccès libre

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Voici une égalité qu’on rencontre souvent : 1/2 + 1/3 = 2/5. À ton avis… cette égalité est-elle vraie, ou bien est-elle fausse ?

Pas besoin de calculer : nous allons comparer le résultat aux fractions de départ.

Deux bandes : en haut, 1/2, la première fraction ; en bas, 2/5, le résultat proposé. Deux cinquièmes, est-ce plus qu’un demi, ou bien moins qu’un demi ? C’est moins : en dixièmes, 2/5 font 4/10, alors que 1/2 en fait 5/10. Or on a ajouté 1/3 à 1/2 : le résultat devrait dépasser 1/2. L’égalité est fausse.

D’où vient ce 2/5 ? Les numérateurs additionnés entre eux, les dénominateurs aussi. Le dénominateur nomme les parts : demis et tiers ne font pas des cinquièmes. Le bon calcul passe par un dénominateur commun : 3/6 + 2/6 = 5/6. Et 5/6 dépasse bien 1/2 : cette fois, le résultat est plausible.

Le réflexe : la somme de deux fractions plus grandes que 0 dépasse chacune des deux. Si ta somme ne dépasse pas chacune des deux fractions, c’est le signe d’une erreur.

Même piège en soustraction : 4/5 − 1/2 donnerait 3/3, c’est-à-dire 1. 1, c’est plus que 4/5 : impossible, on a retranché. Le bon calcul donne 3/10.

À toi de jouer… Juge cette égalité sans calculer, puis trouve la vraie somme.

Pour les parents

C’est l’erreur la plus fréquente en 1re secondaire : 2/5 + 1/3 = 3/8. Un réflexe simple à la maison : demandez si le résultat est plus grand que chacune des deux fractions. S’il ne l’est pas, il y a une erreur.

La fiche · Additionner et soustraire deux fractions quelconques

4 min de lecture

L’idée en une phrase

Pour additionner ou soustraire deux fractions, il faut des parts de même taille : on les écrit avec un dénominateur commun, puis on opère sur les numérateurs. Le dénominateur commun ne change pas.

Pourquoi il faut des parts de même taille

Un demi et un tiers n’ont pas des parts de même taille : on ne peut pas les compter ensemble. Recoupées en sixièmes, les deux fractions deviennent $\frac{3}{6}$ et $\frac{2}{6}$ . Cette fois, les parts sont identiques, et $3 + 2 = 5$ parts font $\frac{5}{6}$ . Le dénominateur $6$ est un multiple commun de $2$ et de $3$ : il nomme les parts, et il ne s’additionne pas.

Un exemple, pas à pas

Calcule $\frac{7}{9} - \frac{1}{6}$ . Donne le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.

$\frac{7}{9} - \frac{1}{6}$
Le PPCM de 9 et de 6 est 18.
$\frac{7 \times 2}{9 \times 2} - \frac{1 \times 3}{6 \times 3}$
En haut comme en bas : fois 2.En haut comme en bas : fois 3.
$\frac{14}{18} - \frac{3}{18}$
Des parts de même taille : des dix-huitièmes.
$\frac{11}{18}$
14 moins 3 font 11 ; le dénominateur reste 18.

$11$ et $18$ n’ont aucun diviseur commun autre que $1$ : $\frac{11}{18}$ est déjà irréductible.

Le piège · Additionner aussi les dénominateurs

Le résultat peut-il être plus petit que l’une des deux fractions ?

À revoir

\frac{2}{5} + \frac{1}{3} = \frac{3}{8}

Juste

\frac{2}{5} + \frac{1}{3} = \frac{6}{15} + \frac{5}{15} = \frac{11}{15}

Pourquoi c’est tentant : On additionne ce qui se ressemble : les nombres du haut entre eux, les nombres du bas entre eux.

$\frac{3}{8}$ est plus petit que $\frac{2}{5}$ : en ajoutant un tiers, on aurait moins qu’au départ. Les dénominateurs nomment les parts : on les rend égaux, puis on additionne seulement les numérateurs.

Le piège · Changer le dénominateur sans changer le numérateur

Par quel nombre chaque dénominateur a-t-il été multiplié ?

À revoir

\frac{3}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12}

Juste

\frac{3}{4} + \frac{1}{6} = \frac{9}{12} + \frac{2}{12} = \frac{11}{12}

Pourquoi c’est tentant : On pense au dénominateur commun $12$ , et l’on recopie les numérateurs tels quels.

$\frac{3}{12}$ ne vaut plus $\frac{3}{4}$ : c’est un quart. Le dénominateur $4$ a été multiplié par $3$ , donc le numérateur l’est aussi : $3 \times 3 = 9$ . De même, $1 \times 2 = 2$ .

Le piège · S’arrêter avant la fraction irréductible

Le numérateur et le dénominateur ont-ils encore un diviseur commun ?

À revoir

\frac{1}{6} + \frac{3}{10} = \frac{14}{30} : « termin \overset{e}{ˊ} »

Juste

\frac{1}{6} + \frac{3}{10} = \frac{14}{30} = \frac{7}{15}

Pourquoi c’est tentant : Le calcul est juste : on croit le travail fini.

Le PGCD de $14$ et de $30$ est $2$ : on divise les deux termes par $2$ . Quand on demande la fraction irréductible, la réponse est $\frac{7}{15}$ .

À retenir

Écris d’abord les deux fractions avec un dénominateur commun : un multiple commun des deux dénominateurs — le PPCM donne les plus petits nombres.
Additionne ou soustrais les numérateurs, et garde le dénominateur commun. Réduis ensuite le résultat si l’on demande la fraction irréductible.
Un coup d’œil pour vérifier, avec deux fractions plus grandes que $0$ : leur somme dépasse chacune d’elles ; leur différence est plus petite que la fraction de départ.

Vérifie-toi

Calcule $\frac{7}{10} - \frac{1}{4}$ , puis $\frac{3}{4} + \frac{5}{6}$ . Donne des fractions irréductibles.

Voir la réponse

Le PPCM de $10$ et de $4$ est $20$ : $\frac{14}{20} - \frac{5}{20} = \frac{9}{20}$ .

Le PPCM de $4$ et de $6$ est $12$ : $\frac{9}{12} + \frac{10}{12} = \frac{19}{12}$ . Cette fraction est plus grande que $1$ , et déjà irréductible.

Toutes les notions, avec leurs exercices.

Dans Silex, cette capsule arrive au moment où l’erreur se produit, avec la fiche et les exercices de la notion.

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