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Le logarithme est un exposant

CapsuleMathématique · Sec. 52 min 07Sous-titréeAccès libre

Sans le son, la capsule défile avec ses sous-titres, sous l’image (CC pour les masquer) ; « Écouter » la reprend au début, avec la voix.

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Une question : 3 exposant combien donne 81 ? Cherche cet exposant. 3 · 3 = 9 ; · 3 = 27 ; · 3 = 81. Il faut quatre facteurs : l'exposant est 4.

Cet exposant porte un nom : le logarithme. Tu sauras l'écrire et le calculer.

D'un côté, l'écriture que tu connais : 3⁴ = 81. De l'autre, la nouvelle : log₃ 81 = 4. Les deux disent la même chose : le logarithme est l'exposant à donner à 3.

Le logarithme d'un nombre : l'exposant à donner à la base pour obtenir ce nombre. La base est positive, différente de 1 ; le nombre est strictement positif.

Une tentation : diviser 81 par 3, et répondre 27. Ce n'est pas une division. La question est toujours la même : la base, exposant combien, donne ce nombre ?

Essayons en base 10 : 10 exposant combien donne 100 000 ? Compte les zéros. 100 000 s'écrit avec cinq zéros : c'est 10⁵. Donc log 100 000 = 5. En base dix, on a l'habitude d'écrire log tout court, sans préciser la base.

Un piège courant : prendre 5 pour la base et 10 pour le logarithme. La base reste la base dans les deux écritures ; le logarithme est l'exposant.

À toi de jouer. Calcule log₅ 125, pour vérifier que tu as saisi l'idée. Pose-toi la question : 5, exposant combien, donne 125 ?

Pour les parents

Le logarithme intimide, alors qu’il pose une question simple : à quel exposant faut-il élever la base pour obtenir ce nombre ? Si votre enfant répond que log₃ 81 vaut 27, il a divisé 81 par 3 ; la capsule montre que la réponse est 4.

La fiche · De l'écriture exponentielle à l'écriture logarithmique

6 min de lecture

L’idée en une phrase

Un logarithme est un exposant : celui qu'il faut donner à la base pour obtenir le nombre.

Deux écritures, une seule égalité

Les deux écritures disent la même chose. La base reste la base ; l'exposant devient la valeur du logarithme ; le résultat de la puissance devient l'argument, le nombre dont on prend le logarithme. La base est positive et différente de $1$ : avec la base $1$ , toutes les puissances vaudraient $1$ , et aucun exposant ne se distinguerait d'un autre.

Un exemple, pas à pas

Calcule $log_{3} 81$ .

$log_{3} 81 = n$
Base 3. Nombre à obtenir : 81.
$3^{n} = 81$
Je cherche cet exposant.
$3^{4} = 81$
3 · 3 · 3 · 3 = 81.
$log_{3} 81 = 4$
Le logarithme, c’est l’exposant.

Le piège · Échanger les rôles des trois nombres

Lequel des trois nombres est l'exposant ?

À revoir

7^{2} = 49 \Rightarrow log_{2} 49 = 7

Juste

7^{2} = 49 \Rightarrow log_{7} 49 = 2

Pourquoi c’est tentant : On recopie les nombres sans se demander lequel est la base et lequel est l'exposant.

La base $7$ reste la base, et le logarithme est l'exposant, $2$ . On relit pour vérifier : $7$ exposant $2$ donne bien $49$ .

Le piège · Diviser le nombre par la base

Quel exposant faut-il donner à la base ?

À revoir

log_{3} 9 = 3

Juste

log_{3} 9 = 2

Pourquoi c’est tentant : $9$ divisé par $3$ donne $3$ : on traite « log » comme une division.

La question est : $3$ exposant combien donne $9$ ? Comme $3^{2} = 9$ , l'exposant est $2$ .

Le piège · Donner un logarithme à un nombre négatif ou à zéro

Existe-t-il un exposant qui donne ce nombre ?

À revoir

log_{2} (- 4) = - 2

Juste

log_{2} (- 4) n’existe pas

Pourquoi c’est tentant : On sait que $log_{2} 4 = 2$ , et on reporte le signe moins sur le résultat.

$2^{- 2}$ vaut $\frac{1}{4}$ , pas $- 4$ . Une puissance de $2$ est toujours strictement positive : aucun exposant ne donne $- 4$ , ni $0$ .

Le piège · Refuser un logarithme négatif

Quel exposant, donné à la base, donne ce nombre ?

À revoir

log_{5} \frac{1}{25} = 2

Juste

log_{5} \frac{1}{25} = - 2

Pourquoi c’est tentant : On reconnaît $25 = 5^{2}$ et on répond $2$ , en pensant qu'un logarithme ne peut pas être négatif.

$\frac{1}{25} = 5^{- 2}$ : l'exposant est $- 2$ . C'est l'argument qui doit être strictement positif ; le logarithme, lui, peut être négatif, nul ou positif.

À retenir

$log_{c} x = n$ veut dire $c^{n} = x$ . Écrit sans base, $log$ désigne la base $10$ .
La base est positive et différente de $1$ ; l'argument est strictement positif.
Pour toute base permise : $log_{c} 1 = 0$ et $log_{c} c = 1$ .

Vérifie-toi

Réponds aux deux questions.

a) Écris $1 0^{- 4} = 0, 0001$ en écriture logarithmique.
b) Calcule $log_{7} 7$ et $log_{7} 1$ .

Voir la réponse

a) La base est $10$ , l'exposant $- 4$ : $log 0, 0001 = - 4$ .

b) $7^{1} = 7$ et $7^{0} = 1$ , donc $log_{7} 7 = 1$ et $log_{7} 1 = 0$ .

Toutes les notions, avec leurs exercices.

Dans Silex, cette capsule arrive au moment où l’erreur se produit, avec la fiche et les exercices de la notion.

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