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Ajouter, ou multiplier ?

CapsuleMathématique · Sec. 22 min 04Sous-titréeAccès libre

Sans le son, la capsule défile avec ses sous-titres, sous l’image (CC pour les masquer) ; « Écouter » la reprend au début, avec la voix.

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3 cahiers coûtent 7,50 dollars. On demande le prix de 5 cahiers. Léa répond : 2 cahiers de plus, donc 9,50 dollars. Malik, lui, répond 12,50 dollars. À ton avis, qui a raison ?

Pour les départager, cherchons ce que coûte un seul cahier dans chaque réponse.

Au départ, 7,50 ÷ 3 : chaque cahier coûte 2,50 dollars. Avec la réponse de Léa, 9,50 ÷ 5 : le cahier ne coûterait plus que 1,90 dollar. Le prix à l’unité a changé : sa réponse ne garde pas le même rapport. Avec celle de Malik, 12,50 ÷ 5 : on retrouve 2,50 dollars. C’est lui qui a raison.

L’idée de Léa est tentante : puisqu’on ajoute 2 cahiers, on ajoute 2 au prix. Mais 2 cahiers de plus coûtent 2 fois 2,50 dollars, et non 2 dollars. Dans une situation de proportionnalité, on garde le même rapport : on multiplie.

Une précaution. Un centre sportif : 15 dollars d’inscription, puis 4 par séance. 4 séances coûtent donc 15 + 4 × 4, soit 31 dollars. Huit séances coûtent-elles le double, 62 dollars ? Eh bien non : 15 + 4 × 8, cela fait 47. L’inscription ne se paie qu’une fois. Cette situation n’est pas proportionnelle : on s’en assure avant de multiplier.

Avant tout calcul, on vérifie que la situation est proportionnelle. Ajouter le même écart ne garantit pas le même rapport : on multiplie.

À toi de jouer. 6 stylos coûtent 15 dollars. Jade : « 8 stylos, 17 dollars. » A-t-elle raison ? Compare le prix d’un stylo dans les deux cas pour le savoir.

Pour les parents

Une recette pour 4 personnes, et vous en recevez 6 : faut-il ajouter 2 à chaque ingrédient, ou tout multiplier par 1,5 ? Une question de cuisine suffit pour vérifier que votre enfant a compris.

La fiche · Trouver une valeur manquante

5 min de lecture

L’idée en une phrase

Dans une situation de proportionnalité, trois valeurs connues et non nulles suffisent pour trouver la quatrième.

Trois chemins, une même réponse

Retour à l’unité : un billet coûte $18 \div 4 = 4, 5$ , donc dix billets coûtent $10 \cdot 4, 5 = 45$ . Facteur de changement : de $4$ à $10$ , on multiplie par $2, 5$ , donc $18 \cdot 2, 5 = 45$ . Coefficient : de $4$ à $18$ , on multiplie par $4, 5$ , donc $10 \cdot 4, 5 = 45$ .

Procédé additif : dans une table de proportionnalité, on peut additionner deux colonnes. $14$ billets coûtent le prix de $4$ billets plus celui de $10$ billets.

Un exemple, pas à pas

Six cahiers identiques coûtent $21$ dollars. Écris la proportion, puis trouve le prix de $10$ cahiers.

$\frac{6}{21} = \frac{10}{x}$
Les cahiers en haut, les dollars en bas, des deux côtés.
$21 \div 6 = 3, 5$
Un cahier coûte 3,50 dollars.
$x = 10 \cdot 3, 5 = 35$
Dix cahiers : dix fois le prix d’un cahier.
$6 \cdot 35 = 21 \cdot 10 = 210$
Je valide : les deux produits en croix sont égaux.

Dix cahiers coûtent $35$ dollars. Dans une proportion, le produit des extrêmes égale le produit des moyens : c’est un moyen de valider.

Le piège · Ajouter le même écart aux deux grandeurs

Ma réponse garde-t-elle le même prix à l’unité ?

À revoir

4 \to 18, 6 \to 18 + 2 = 20

Juste

4 \to 18, 6 \to 6 \cdot 4, 5 = 27

Pourquoi c’est tentant : De $4$ à $6$ billets, il y en a $2$ de plus : on ajoute $2$ au prix.

Chaque billet coûte $4, 50$ dollars, pas $1$ dollar. À $20$ dollars les six, le billet ne serait plus au même prix.

Le piège · Mettre une valeur à la place d’une autre grandeur

Les deux rapports comparent-ils les mêmes grandeurs, dans le même ordre ?

À revoir

\frac{5 kg}{8 dollars} = \frac{x dollars}{12 , 5 kg}

Juste

\frac{5 kg}{8 dollars} = \frac{12 , 5 kg}{x dollars} \to x = 20

Pourquoi c’est tentant : Les trois nombres sont placés dans l’ordre où l’énoncé les donne.

Les kilogrammes restent en haut et les dollars en bas. Avec les unités, on voit tout de suite un terme mal placé.

Le piège · Calculer une proportion sans avoir vérifié la situation

La situation est-elle vraiment proportionnelle ?

À revoir

3 km : 10 dollars \to 6 km : 20 dollars

Juste

6 km : 4 + 2 \cdot 6 = 16 dollars

Pourquoi c’est tentant : Le double de kilomètres semble appeler le double du prix.

Ce taxi demande $4$ dollars au départ, puis $2$ dollars par kilomètre. Le montant de départ ne double pas : la situation n’est pas proportionnelle.

À retenir

Retour à l’unité, facteur de changement, coefficient, procédé additif : quatre chemins, la même réponse.
Une proportion est une égalité de deux rapports. Si $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , avec des termes non nuls, alors $a \cdot d = b \cdot c$ .
Avant de calculer : la situation est-elle proportionnelle ? Après : la réponse est-elle plausible ?

Vérifie-toi

Huit mètres de tissu coûtent $30$ dollars. Combien coûtent $20$ mètres du même tissu ?

Voir la réponse

Facteur de changement : de $8$ à $20$ , on multiplie par $2, 5$ . Le prix est $30 \cdot 2, 5 = 75$ dollars.

Autre chemin : un mètre coûte $30 \div 8 = 3, 75$ dollars, et $20 \cdot 3, 75 = 75$ .

Toutes les notions, avec leurs exercices.

Dans Silex, cette capsule arrive au moment où l’erreur se produit, avec la fiche et les exercices de la notion.

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