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Pourquoi des carrés ?

CapsuleMathématique · Sec. 32 min 19Sous-titréeAccès libre

Sans le son, la capsule défile avec ses sous-titres, sous l’image (CC pour les masquer) ; « Écouter » la reprend au début, avec la voix.

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Un triangle rectangle sur un quadrillage. Ses cathètes : 3 carreaux et 4 carreaux. Combien mesure son hypoténuse ? On est tenté d’additionner : 3 + 4 = 7 carreaux. Est-ce bien cela ? Pour le savoir, nous allons construire des carrés.

Découvrons ensemble ce que la relation de Pythagore additionne vraiment.

Sur la cathète de 3 carreaux, un carré : 3 rangées de 3 carreaux, donc 9 carreaux. Sur la cathète de 4 carreaux, un autre carré : 4 rangées de 4, donc 16 carreaux. Sur l’hypoténuse, un troisième carré, posé de biais. Combien de carreaux ?

Je l’enferme dans un grand carré de 7 carreaux de côté : 7 × 7 = 49 carreaux. Dans les coins, il reste quatre triangles rectangles, tous pareils au nôtre. Chacun est la moitié d’un rectangle de 3 sur 4 : (3 × 4) ÷ 2 = 6 carreaux. Les 4 triangles : 4 × 6 = 24 carreaux. Il reste 49 − 24 = 25 pour le carré de biais.

Or 9 + 16, cela fait justement 25. Le carré construit sur l’hypoténuse a la même aire que les deux autres ensemble. Un carré de 25 carreaux a un côté de 5 : l’hypoténuse mesure 5 carreaux, et non 7.

Dans un triangle rectangle : hypoténuse au carré = somme des carrés des cathètes. Le même découpage se refait avec tout triangle rectangle, et seulement avec eux.

Deux pièges. Le premier : additionner les côtés, au lieu de leurs carrés. Le second : prendre un carré pour un double. 3² = 3 × 3 = 9, et non 6.

À toi de jouer. Triangle rectangle : cathètes 12 et 16, hypoténuse 20. Écris la relation de Pythagore avec ces nombres, puis vérifie qu’elle est vraie.

Pour les parents

L’erreur typique : additionner les côtés, 3 + 4 = 7, au lieu de leurs carrés, 9 + 16 = 25, ce qui donne 5. Si votre enfant récite la formule sans la comprendre, la capsule montre ce qu’elle additionne vraiment : des aires.

La fiche · Cathètes et hypoténuse

5 min de lecture

L’idée en une phrase

Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit ; les cathètes sont les deux côtés qui le forment. La relation de Pythagore relie les carrés de ces trois côtés.

Trois côtés, deux noms, et pourquoi des carrés

Ce triangle est rectangle en $B$ : cela veut dire que son angle droit a pour sommet $B$ . Les côtés $A B$ et $BC$ , qui forment l’angle droit, sont les cathètes. Le côté $A C$ , en face de l’angle droit, est l’hypoténuse : c’est le seul côté qui ne touche pas $B$ , et c’est le plus long des trois.

Sur chaque côté de ce triangle rectangle, on construit un carré, et on compte les carreaux : 9 et 16 sur les cathètes, 25 sur l’hypoténuse. Or $9 + 16 = 25$ : le carré construit sur l’hypoténuse a la même aire que les deux autres ensemble. C’est vrai dans tout triangle rectangle, et seulement là : c’est la relation de Pythagore.

Un exemple, pas à pas

Le triangle $MNP$ est rectangle en $P$ . Nomme son hypoténuse et ses cathètes, puis écris la relation de Pythagore.

$angle droit : au sommet P$
« Rectangle en P » : l’angle droit a pour sommet P.
$hypot \overset{e}{ˊ} nuse : MN$
Le côté opposé à l’angle droit : le seul qui ne touche pas P.
$cath \overset{e}{ˋ} tes : MP et NP$
Les deux côtés qui forment l’angle droit.
$M N^{2} = M P^{2} + N P^{2}$
Le carré de l’hypoténuse, seul d’un côté de l’égalité.

Aucune figure n’est nécessaire : le nom du sommet de l’angle droit suffit à trouver l’hypoténuse.

Le piège · Choisir l’hypoténuse d’après la position du triangle

Quel côté ne touche pas l’angle droit ?

À revoir

hypoténuse : le côté penché

Juste

hypoténuse : le côté opposé à l’angle droit

Pourquoi c’est tentant : On dessine souvent le triangle rectangle posé sur une cathète : l’hypoténuse y est le côté penché, et l’on retient l’image plutôt que la définition.

Dans ce triangle, rectangle en $H$ , les deux côtés penchés sont les cathètes. L’hypoténuse est $G K$ , le côté du bas. Tourne un triangle rectangle comme tu veux : son hypoténuse reste en face de l’angle droit.

Le piège · Employer la relation sans angle droit

Où est l’angle droit, et qu’est-ce qui le prouve ?

À revoir

triangle quelconque : c^{2} = a^{2} + b^{2}

Juste

triangle rectangle : c^{2} = a^{2} + b^{2}

Pourquoi c’est tentant : La relation est si connue qu’on l’écrit dès qu’on voit un triangle et deux mesures.

Dans un triangle équilatéral de côté 2 cm, $2^{2} + 2^{2} = 8$ alors que $2^{2} = 4$ : l’égalité est fausse. Sans angle droit, il n’y a ni hypoténuse, ni cathètes, ni relation de Pythagore.

Le piège · Additionner les mesures au lieu de leurs carrés

La relation parle-t-elle des côtés, ou de leurs carrés ?

À revoir

cath \overset{e}{ˋ} tes 3 et 4 : hypot \overset{e}{ˊ} nuse 3 + 4 = 7

Juste

3^{2} + 4^{2} = 25 = 5^{2}

Pourquoi c’est tentant : « L’hypoténuse, c’est les deux autres côtés ensemble » : la phrase est plus courte à retenir.

Ce sont les aires des carrés qui s’additionnent : 9 carreaux et 16 carreaux en font 25. L’hypoténuse mesure 5, moins que $3 + 4$ : elle est plus courte que les deux cathètes mises bout à bout.

À retenir

Hypoténuse : le côté opposé à l’angle droit. C’est le plus long côté d’un triangle rectangle, quelle que soit sa position.
Cathètes : les deux côtés qui forment l’angle droit.
Dans un triangle rectangle, et seulement là : le carré de l’hypoténuse égale la somme des carrés des cathètes.

Vérifie-toi

Le triangle $U VW$ est rectangle en $V$ . Quelle est son hypoténuse ? Écris la relation de Pythagore dans ce triangle.

Voir la réponse

L’hypoténuse est $U W$ : c’est le seul côté qui ne touche pas le sommet $V$ .

$U W^{2} = U V^{2} + V W^{2}$ .

Toutes les notions, avec leurs exercices.

Dans Silex, cette capsule arrive au moment où l’erreur se produit, avec la fiche et les exercices de la notion.

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